زاویه های خارجی و داخلی مثلث ها و شکل های منتظم + دانلود فایل

زاویه های خارجی و داخلی مثلث ها و شکل های منتظم

مجموع زاویه های یک مثلث

1. چند مثلث دلخواه رسم کن. زاویه های هر مثلث را اندازه بگیر و جمع کن. مجموع چقدر می شود؟ آیا فکر می کنی مجموع زاویه ها همیشه یک عدد است؟
2. با یک آزمایش ساده می توان اندازه ی مجموع زاویه های مثلث را به دست آورد

یک مثلث رسم کن و زاویه ها را علامت گذاری کن.

زاویه ها را از مثلث جدا کن. (پاره کن و یا ببر)

 یک خط راست رسم کن و یک نقطه ی مرکزی روی خط علامت بگذار. زاویه ها را روی خط و نقطه بچین.

زاویه ها باهم یک خط راست می سازند که همیشه ۱۸۰ درجه است. به این سادگی می توان ثابت کرد که مجموع زاویه های یک مثلث  ۱۸۰ºاست.

مثال:

در مثلث روبرو اندازه ی زاویه ی  vرا حساب کنید.

در این مثلث یک زاویه ۹۰ است. می دانیم که مجموع زاویه ها نیز  ۱۸۰ºاست. پس می توان فرمول زیر را نوشت:

 v = ۱۸۰ – ۹۰ – ۶۰ و

یا  v = ۹۰ – ۶۰

پس v = ۳۰

روابط بین ضلع ها

در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

روابط بین زوایا

• مجموع زاویه های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است.
• مجموع زاویه های خارجی مثلث ۳۶۰ درجه است.
• هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی مجاور آن است.

روابط بین ضلع ها و زوایا

• در مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است. ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است. زوایای مقابل به اضلاع برابر برابرند و برعکس. هر مثلث متساوی الساقین متقارین است. عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین قاعده و زاویه رأس آن را نصف می کند. زوایای قاعده مثلث متساوی الستقین برابرند.
• در مثلث قائم الزاویه زوایای حاده متمم اند. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده ۴۵ درجه اند.
• در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابرند، هر یک ۶۰ درجه است.
• مثلثهای متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند.
• اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه ای ۳۰ درجه باشد، ضلع مقابه به آن نصف وتر است.

چند ضلعی منتظم:

چند ضلعی که همه ضلع های آن با هم و همه زاویه های آن نیز با هم برابر باشند را چند ضلعی منتظم می نامیم . مثلث متساوی الاضلاع و مربع نمونه هایی از چند ضلعی منتظم می باشند.

مجموع زاویه های یک سه ضلعی منتظم(مثلث متساوی الاضلاع)

هر زاویه مثلث متساوی الاضلاع ۶۰ درجه و مجموع آنه ۱۸۰ است.

مجموع زاویه های یک چهار ضلعی منتظم(مربع)

با رسم کردن قطر یک چهار ضلعی ، ان را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کنیم. مجموع زاویه های هر مثلث ۱۸۰ است. چون دو مثلث داریم پس مجموع این دو مثلث برابر با مجموع زاویه های چهار ضلعی است.   ۱۸۰ + ۱۸۰ = ۳۶۰

مجموع زاویه های پنج ضلعی منتظم:

یک ۵ ضلعی را می توان به ۳ مثلث تقسیم کرد. مجموع زاویه های هر مثلث  ۱۸۰ است.

پس مجموع زاویه های ۵ ضلعی ۵۴۰ =۱۸۰× ۳

نتیجه:

از جدول زیر می توان نتیجه گرفت. همیشه تعداد مثلثها از تعداد اضلاع ۲ تا کمتر است.

توجه داشته باشید که با هر ضلع که اضافه می شود می بایست یک مثلث یا ۱۸۰ درجه به مجموع زاویه ها اضافه کنیم. می توان یک فرمول کلی برای مجموع زاویه های چند ضلعی نوشت که در آن nتعداد ضلع ها است:

مجموع زاویه ها = ۱۸۰×(n-2)

اندازه ی هر زاویه: